スペイン
AD1000年頃、多くのムーア人の学者がスペインに現れ、算術や天文学、また時折代数の文献に貢献した。これらの学者たちの中で、最も優れた数名の名を挙げれば、数学全般の分野での彼らの関心と偉業との範囲を示すのに役立つだろう。
コルドバ生まれのイブン・アルサッファール(Ibn al-Saffar)(1)は、天文表と天文器具について書いた。少し後（1050年頃)、イブン・アルザルカラ（ツァルカラ?）(Ibn al-Zarqala)(2)は、恐らくコルドバの生まれだと思うが、天文学と占星術について著述し、１セットの天文表を用意した。(3)
その世紀の後半、デニア(Denia)出身のスペインの医学者アブル・サルト(Abul-Salt)(4)は、幾何学と天文学について書き、ジャビール・イブン・アフラ(Jabir ibn Aflah)(1140年と 1150年の間に没）、一般にはヘベル(Geber)として知られているが、セヴィリアで活躍し、天文学、球面三角法とメネラオスの横断線の定理について書いている。(5)彼は、よく似た名前の錬金術師とよく混同される。
１１世紀の終わりに、スペインで最も学識ある学者は、しかし、イスラム教徒ではなかった。ユダヤ民族、彼らは都合のよいことにスペインの東洋文明との関係で述べられることになるが、全般的に、キリスト教の支配でよりもサラセンの支配の下での方が、よい扱いを受けていた。この時代以前に、イタリアでいくらか活躍したことはあったが。ムーア人から受けた励ましを通して、ユダヤ人たちはスペインでの数学の発展に少なからぬ程度の貢献をし、キリスト教徒たちは、数学に関するアラビア語の著作の最初の知識を彼らに負うている。(6)この世紀のユダヤの優れた学者たちの第一は、アブラハム・バル・キイア(Abraham bar Chiia)(7)（アブラハム・ユダエウス(Abraham Judaeus)）、一般に、サヴァソルダ(Savasorda)(8)として知られるバルセロナ生まれの人である。(1070年頃から 1136年頃）彼は、天文学について著述したが、主として、算術、幾何学及び数学的地理学を含む百科事典のために知られている。(9)この断片しか、今は現存しないが、彼はまた、Liber Embadorum(10)という題名の著作も書いている。この著作は、幾何学を扱っているが、数の理論で用いられた多くの定義も含まれている。この中で、彼はフランス系ユダヤ人を幾何学に無知であり、それ故に算術に弱いと非難している。この著作は、チボリのプラト(Plato of Tivoli)によってヘブライ語からラテン語に翻訳された。
この時期の第二の偉大なヘブライの学者は、アブラハム・ベン・エズラ(Abraham ben Ezra)であった。(11)彼は、数の理論、暦学、魔方陣、天文学、そしてアストロラーベについて著述した。カバラに非常に関心があって、当時の最も学識のあるユダヤ人として正当に評価されている。(12)彼は広く旅行し、少なくとも東はエジプトまで、北はロンドンまで(1158年）行っている。天文学、暦学とその近隣のテーマに関する貢献に加えて、彼は数について３，４の著作を書いている。(1) セフェル・ハ・エチャド(Sefer ha-Echad)(13)；(2) セフェル・ハ・ミスパル(Sefer ha-Mispar)(14)、主に算術について；(3) Liber augmenti et diminutionis vocatus numeratio divinationis, これはラテン語の翻訳だけで知られており、恐らく彼によるものではないだろう。(15)(4) タ・フブラ(Ta 'hbula)、ヨセフス問題(Josephus Problem)を含んでいて、分冊の可能性があり、恐らく彼によるものだろう。これらの中で、セフェル・ハ・ミスパル(Sefer ha-Mispar)だけが、唯一重要である。それは、ヒンドゥーの算術に基づいているが、数詞としてヘブライ文字を用いており、計算法の中で０を使っている。彼は何人かの先人がしていたように、９を捨てるというチェックを採用している(?)(the check of casting out nines) 次のは、彼の規則の例である。「ある一定の数まで連続する数の合計がいくらになるか知りたいと思う人は、その数にその数の半分を掛け、それにその数の 1/2を加えなさい。その結果が、その合計である。」(16)
ユダヤ人によっても、キリスト教徒によっても、同様に高く評価されていたけれども、彼の運命は全くの幸せであったとは言えなかった。彼は逆境との戦いの中で、次のような言葉で嘆きを漏らしている。
Were candles my trade it would always be noon;
Were I dealing in shrouds Death would leave us alone.
（私の交易品がろうそくであるならば、常に正午（真昼）のよう（に明るく）であり；
私が死体を包む布を扱っているのなら、死に神は私を一人にしておくだろう。）
この時期のユダヤの活動と関連して、また裁判官のハサン(Hasan)のことを思い起こすだろう。彼は、１０世紀に著作したようだが、どこの国でかは知られていない。また、スペインの医者であったと思われるイェフダ・ベン・ラクフィアル(Yehuda ben Rakufial)の名も思い起こす。この二人ともユダヤの暦について著述し、前者は、ラビ、ベン・エズラによって言及されている。
１２世紀は、スペインの数学の研究には、その前の時代の人々より遙かに好ましかった。アラビアの著述家たちの中で、第一の者は、中世には一般にこう呼ばれていたが(17)、アヴェロエス(Averroes)(1126年頃-1198/9年)であった。彼は天文学と三角法について著述している。彼の同時代人で、学問に最も優れた人は、アヴェンパセ(Avenpace)、キリスト教徒たちによってこう呼ばれていたが(18)、であって、彼は、セヴィリヤとグラナダに 1140年頃生きていて、幾何学について著述している。
しかし、先の世紀と同じように、この世紀も、数学の発展に最大の寄与をしたのは、ヘブライの学者であった。ラビ、ベン・エズラ(Rabbi ben Ezra)を別にしても、二人の学者を特別に取り上げるのに値する。マイモニデス(Maimonides)(19)（１１３５年-1204年)、コルドバ生まれ、スルタンお抱えの医師で優れた天文学者であった人物(20)と、ヨハネス・ヒスパレンシス(Johannes Hispalensis)(21)(1140年頃活躍)である。彼は、キリスト教の信仰を告白し、算術と占星術について著述し(1142年)、様々なアラビアの数学に関する著作をラテン語に翻訳した。(22)
同じ世紀、それほど著名ではないが、様々なユダヤの学者たちがいた。例えば、サムエル・ベン・アッバス(Samuel ben Abbas)(23)、彼は、算術(24)、ヒンドゥーの数詞とその用法(25)、代数そして幾何学について著述している。また、名前不詳のイギリスのユダヤ人もいた。彼はイギリスの歴史家たちによって Mathematum Rudimenta quaedam と呼ばれる著作を書いた。
１３世紀には、アラビア語からヘブライ語になされた様々な翻訳が見られる。そして、その何人かの翻訳者が知られている。これらの中に、モーゼス・ベン・ティボン(Moses ben Tibbon)(26)がいる。彼の父親と祖父は、哲学及び科学（学問）的著作をアラビア語からヘブライ語に翻訳した人として著名であった。彼は、その世紀の中頃、積極的に仕事をし、アルペトラギウス(Alpetragius)の天文学(27)と恐らく 210ページに述べられるアル・ハッサル(al-Hassar)(1200年頃）の算術を翻訳した。
この時期の他のユダヤの学者たちも、主に天文学への学問的関心を示していた。例えば、トレドのイェフダ・ベン・サロモン・コヘン(Jehuda ben Salomon Kohen)(1247年没)は、プトレマイオスの「アルマゲスト」について著述している。彼は、また、エウクレイデス（ユークリッド）から短い抜粋を用意し、その注釈を書いている。また、トレドのイサク・ベン・シド(Issac ben Sid)(1256年没)は、彼のちょうど死の直前に、アルフォンソの天文表(Alfonsine Tables)(p.228を見よ）を編集した。
１３世紀の中頃、コルドバに、有名なティボン一族のもう一人の子孫--ヤコブ・ベン・マキル(Jacob ben Machir)、プロファティウス(Prophatius)として知られる人物が生まれた。彼は、モンペリエに住み、彼が発明した四分儀(quadrant)(the quadrans Israelis あるいは quadrans Judaicus)(28)について著述し、エウクレイデス（ユークリッド）の「幾何学原論」と「ダータ」そしてメネラオスの「球面（幾何学）(Sphere)(29)をアラビア語からヘブライ語に訳し、暦(almanac)についての著作を書いている。
１２世紀の西方アラビア人の間で、算術に関する著述家の中で、最もよく知られた人たちの一人は、アブ・ベクル・モハメド・イブン・アブダラ(Abu Bekr Mohammed ibn 'Abdalah)(30)、一般には、アル・ハッサル(al-Hassar)として知られている人物である。(31)彼の著作は、あまりに受け入れられていたので、すでに述べたように、モーゼス・ベン・ティボンによってヘブライ語に翻訳されている。(32)(1259年) その著作は、明らかに西洋的である。というのは、ゴバル(gobar)の数詞を用いているから。
１３世紀初め、キリスト教徒の呼び名で、アルペトラギウス(Alpetragius)(33)が、スペインに、恐らくセヴィリャに住んでいて、天文学について著述した。(1200年頃）彼の惑星の運動の理論は、その著作が彼を数学の著述家としての地位を与えたのだが、マイケル・スコット(Michael Scott)によってラテン語に訳されている。
アルペトラギウスと同時代の人に、イブン・アル・カティブ(Ibn al-Katib)(34)(1210/11年没）という人物がいた。彼は、算術、幾何学と建築についての若干の議論を含む二つの著作を書いている。
１３世紀に、地理的にスペインの文明と緊密な関係にある北アフリカで生まれた学者の中で、最もよく知られているのは、アルバンナ(Albanna)、すなわちイブン・アル・バンナ(Ibn al-Banna)(35)である。彼は、アル・マラクシ(al-Marrakushi)としても知られているという事実から、私たちは、彼はモロッコ生まれであったと推測している。(36)彼は、天文学、計量、代数、アストロラーベ、そして比について著述している。彼の最もよく知られた著作は、算術の論文である「タルキス(Talchis)」である。(37)
また一人、イブン・ベドル(Ibn Bedr)(38)として知られるセヴィリャのイスラムの学者がいた。彼は、当時の代数の概論（要約）を書いている。(39)年代は不確かだが、1311/12年に韻文で書かれたその注釈がある。
スペインのムーア人の偉大な算術家の最後の人物は、アル・カラサディ(al-Qalasadi)(40)である。グラナダの近くの町、バザ(Baza)の生まれである。彼は、算術について広く著作をし、数の理論の扱いにおいて、ある独創性を持っていたように思える。彼は、新しい根号と等号を導入し、上昇の?(ascending)連分数(continued fraction)の体系を提唱した。(41)