数学史

[リトモマキア][翻訳者たちの世紀][イタリアとフランスの翻訳者たち][イングランドの翻訳者たち][他の学者たち]

リトモマキア

　１１世紀と言えば、リトモマキア(rithmomachia)₍₁₎という数のゲームのことに触れなければならない。これに関する最も初期の論文の一つは、修道士フォルトルフス(Fortolfus)によるものである。彼は、恐らく、１１世紀の終わり頃に生きていただろう。₍₂₎そして、それが指摘するように、その世紀以前には知られていなかった。時折、ボエティウスやピュタゴラスにまでさかのぼるとされることもあるのだが。このテーマについては、ヴァチカン図書館に写本がある。タイトルは「リトマキヤ(Ritmachya)」であり、1077年に、ベネディクトゥス・アッコリトゥスとして知られる修道士によって書かれた。また、そのゲームは、中世の詩「デ・ウェトゥラ(De Vetula)」₍₃₎にも言及されている。それに興味を持った初期の著述家は、すでに述べたように、ヘルマヌス・コントラクトゥス(Hermannus Contractus)(1013-1054)の他には、ヨルダヌス・ネモラリウス(Jordanus Nemorarius)(1236年頃没）とニコレ・オレスメ(Nicole Oresme)(1323-1382年頃）の二人であった。
　このゲームは、ニコマコスによって示されているギリシアの数の理論に基づいている。それは、四角い形の二重のチェス盤で遊ばれる。一方の側には８つの正方形があり、他方には１６ある。駒は、三角形、四角形、円と角錐で、それぞれある数値を有している。これらの駒は、1496年の著作から、図(p.199)で示されたように並べられた。数字は、アットランダムに取られているわけではないが、それらが配置された意図は、この書で説明するには複雑すぎる。三角形の場合には、81=72+72*1/8、6=4+4*1/2、9=6+6*1/2、四角形の駒の場合には、45=25+20 と 15=9+6、角錐は、四角の上に重ねられていて、91=6^2+5^2+4^2+3^2+2^2+1^2 と 190=8^2+7^2+6^2+5^2+4^2 となっている。四角の場合には、S=(2n+1/n+1)*S' という公式があり、それぞれの文字の意味は、図を見ていると見いだせるだろう。そこでは、S=25, S'=15, n=2 あるいは、S=81, S'=45, n=4 である。ゲームは非常に複雑で、私たちの目的には、ゲームの最高潮は、Victoria praestantissima に到達したときであるということができる。Victoria praestantissima では、一般の３つの数列--算術的、幾何学的、調和的数列を具現化する４つの数を一列に並べる必要がある。これらの駒で、可能な唯一の解法は、数字で６である。このゲームは、中世では、ギリシアの数の理論に精通していることが要求されていて、数学のエリートたちだけができるもののように見えるだろう。その人気のほどは、１１世紀には少なくとも３つの写本、１２世紀と１３世紀には３つの写本によって、さらに、このテーマについていくつかの印刷された論文から証明されている。これらはすべて、私たちに伝えられているほんのわずかの名前のリストから、私たちが考える以上に多くの数の理論についての学者がいたことを示しているだろう。₍₄₎

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翻訳者たちの世紀

　１２世紀は、キリスト教ヨーロッパにとって、９世紀が東方イスラム教世界においてそうであったのと同じ関係、翻訳の時代であった。バグダードの場合は、これらの翻訳はギリシア語からアラビア語への翻訳であったが、キリスト教ヨーロッパの場合は、アラビア語からラテン語への翻訳であった。東方の学問を知ろうとするこの願望の理由を見いだすことは困難ではない。１１世紀との関連ですでに述べた原因は、１００年たった後には、さらに一層強くなり、芸術や学問におけるムーア人によるスペインの発展は、すでに、フランスやイタリア、イングランドの教会の学校の上流階級の人々に知的な不安を引き起こしていた。この不安の結果がスペインへの学生たちの流入であり、様々な学者たちの側からは、アラビアの何らかの知識の獲得であり、東方の学問を知り知らしめたいという強い欲求であった。ちょうど、バグダードが決してギリシアの文学を翻訳せず、ギリシアの科学学問を熱心に知ろうとしたように、ヨーロッパも、アラビアの文学にはほとんど注意を向けず、カリフの首都で名声を得ていた天文学、算術、三角法、光学、占星術、幾何学、そして医学についての著作に非常な関心が向けられた。ユークリッド（エウクレイデス）の「幾何学原論」でさえ、オリジナルのギリシア語でなく、主としてアラビア語の翻訳を通してラテン教会の学者たちには知られるようになった。

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イタリアとフランスの翻訳者たち

　１２世紀にイタリアとフランスは、２・３の優れた学者を生み出した。彼らのアラビア語の知識と数学への好みは、イスラムやギリシア文明の様々な古典をラテン世界に知らしめることになった。
　これらの翻訳者の中で最初の人物は、チボリのプラト(Plato of Tivoli)あるいは、プラト・ティブルティヌス(Plato Tiburtinus)₍₅₎であった。彼は、1120年頃の人で、アルバテニウス(Albategnius)（アル・バッターニ(al-Battani))の天文学、テオドシウスの「球面幾何学(Spherics)」、アブラハム・バール・キイア(Abraham bar Chiia)(1120年頃)の Liber Embadorum その他占星術に関する様々な著作を翻訳した。
　この頃、シチリア島も、ギリシアやアラビアの著作の翻訳が活発であった。₍₆₎こうした学者たちの注意を引いた論文の中に、プトレマイオスの「アルマゲスト(Almagest)」があった。そのアルマゲストは、1160年頃、以前にシチリアの学者によってコンスタンチノープルからパレルモにもたらされていたギリシア語の写本から、名前不詳の翻訳家によってラテン語に翻訳されたものである。₍₇₎
　何年か後、ゲラルド・クレモネンセ(Gherardo Cremonense)、すなわち、クレモナのゲラルド(Gherardo of Cremona)(1114-1187年)₍₈₎は、イタリアで、それからスペインで学び、トレドではアラビア語を学んだ。彼において、他の多くの中世、またずっと後の科学者たちにとっては、占星術は、医学と数学とを加えた総合学（ネクサス）となったように、彼の関心は、その３つの分野すべてにあった。彼は、様々な数学及び天文学の著作をアラビア語から訳し、その中に、ユークリッド（エウクレイデス）の「幾何学原論」「ダータ(Data)」、テオドシウスの「球面幾何学(Spherics)」、メネラオスの著作、プトレマイオスの「アルマゲスト」₍₉₎が含まれている。その「書物への愛のため」彼はトレドに旅をした。₍₁₀₎彼の翻訳の中に、半弦(half chord)を表す sinusという言葉が使用された初期の例が見いだせる。これは、三角関数を表す現代の用語の最初である。₍₁₁₎１３世紀に生きていた若いクレモナのゲラルドがいた。彼は、ダ・サッビオネッタ(da Sabbionetta)と呼ばれ、天文学について著述した。₍₁₂₎
　イタリアとフランスの翻訳者の中に、まさに、ブルージュのルドルフ(Rudolph of Bruges)が含まれるだろう。なぜなら、彼の著作のほとんどは、フランスの影響の下で書かれたから。彼の時代頃(1143年頃)、カリンツィアのヘルマン(Hermann of Carinthia)が、プトレマイオスの「平面天球図(Planisphere)」を翻訳している。₍₁₃₎

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イングランドの翻訳者たち

　イングランドは、１２世紀に優れた翻訳者を二人以上生み出しており、アイルランドは少なくとも一人を生み出したように思える。これらの中で最もよく知られているのは、バースのアデラード₍₁₄₎(Adelard of Bath)である。トレド、トゥール(Tours)、ラオン(Laon)、そして東方でも学び、ギリシア、小アジア、エジプトを経由して、恐らくアラビアまで旅し、多くの数学的著作を持ち帰ったイングランドの学者である。₍₁₅₎彼は、ギリシア語の知識があると信じられ、ユークリッド（エウクレイデス）をラテン語に訳した最初の人たちの一人だが、この翻訳はアラビア語からなされたように思える。₍₁₆₎彼かカンパヌス(Campanus)のいずれかが、星の多角形の角の総和を決定したように思える。その図形は、恐らく占星術での使用のためだと思うが、かなりの関心が当時持たれていた。彼は、恐らく、アル・フワーリズミーの天文表を翻訳しただろう。そして、彼は、この著者の算術についての注釈を書き、「算盤の規則？(Regulae abaci)」₍₁₇₎と題する著作を書いたと言われている。アデラードは、ユークリッドの名をイングランドにもたらした最初の人物では決してなかった。というのは、私たちが見てきたように(p.187)、１０世紀には、恐らくイギリスの学者たちに知られていただろうから。
　アデラードがトレドに滞在した数年後、数学に関心のある他の二人のイングランドの学者が、自らの研究を究めるためにスペインへ行った。このうち最初の者がチェスターのロバート(Robert of Chester)(1140年頃)₍₁₈₎であった。彼は、アル・フワーリズミーの代数をラテン語に訳し₍₁₉₎、いくつかの天文表を用意した。彼は、北スペインのパンペルナ(Pampelune)の助祭長であって、また、イタリアとギリシアに旅したようにも思える。彼は、コーラン（クルアーン）をラテン語に訳した最初の人物であった。(1143年)
　このイングランドの学者の二人目は、ダニエル・モーリー(Daniel Morley)₍₂₀₎であり、1180年、オックスフォードで学んでいた。彼はパリへ行き、そこからトレドへ行って₍₂₁₎、アラビアの著述家たちを自由に引用しながら、天文学と数学とについて著述した。₍₂₂₎こうした人たちが、この時代、数学を求めて強制的に外国へと派遣されたことは、ロンドンの学校でなされた著作の記録から明らかである。この著作は、主として文法と弁論術に関する性質のものである。₍₂₃₎スペインへ行くべきであるというのは、全く自然であった。単に言語の理由からだけでなく、アルフォンソ８世(1158-1214年)とヘンリー２世の娘、レノーラ(Lenora)との婚姻で、カスティリアとイングランドとの間には、親密な関係があったからである。

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他の学者たち

　アデラードの弟子たちの一人、Ｎ．オクリート(O'Creat)₍₂₄₎は、乗法と除法に関する著作を書いているが、それは、アラビアの数学の著述家たちから学んだことを示している。しかしながら、オクリート自身のことは、それ以上何も知られていない。しかし、その名は、彼が生まれた国を暗に示しているだろう。その著作には、aa=(a+b)(a-b)+bbの公式を使って数の二乗を求めるニコマコスの方法を含んでいる。例えば、109^2=100*118+81=11881. 彼はローマの数詞を用いているが、０も零を示すギリシア語のτに似た文字も両方とも用いている。₍₂₅₎
　1125年頃、ラオンのラドゥルフ(Radulph of Laon)(1133年没)は、算術について著述し、この時より少し前(1090年頃)、サン・ポールの小修道院長(prior)のベサンソン(Besancon)₍₂₆₎のジェルラン(Gerland)は、計算(computus)とアバカス（計算盤）について簡略な著作を書いている。₍₂₇₎
　１２世紀初め、ロレヌ(Lorraine)生まれのウォルケルス(Walcherus)という名の、占星術師で幾何学者、そして算盤家(abacist)がいた。彼は、イングランドでかなりの名声を得、天文学について著述している。₍₂₈₎こうした名前は、当時の教会の学校での数学の内容について証言しているといういことだけでの関心からである。

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原注１: 　文字通りの意味は、「数の戦い」である。その言葉は、様々に綴られ、最も一般的なもののなかに、rithmimachia, ritmachya, richomachie, rhythmimachia がある。
　１６世紀のフランスの数学者、ボワッシエール(Boissiere)による、そのテーマについての著作は、Nobilissimus et antiqvissimus ludus Pythagoreus (qui Rythmomachia nominatur), Paris, 1556. Rara Arithmetico, pp.12, 63, 271, 340.を見よ。
原注２: 　R.Peiper,"Fortolfi Rythmimachia," Abhandlungen, III, 167, 198.
原注３: 　"O utinam ludus sciretur Rythmimachia ! 　　ludus Arithmeticae folium, flos fructus et eius 　　gloria laus et honor." 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Abhandlungen, III, 222.
原注４: 　ゲームについての描写は、D.E.Smith,"Number Games and Number Rhymes," in Teachers College Record, XIII (New York), 385,を、"The Great Number Game of Dice."の歴史と共に見よ。Rithmomachiaに関する論文は、Amer. Math. Month., April, 1911.でも見いだせるだろう。また、E.Wappler,"Zeitshrift (Hl. Abt.), XXXVII, 1 も見よ。
原注５: 　 B.Boncompagni, "Delle versioni fatte da Platone Tiburtino," Rome, 1851.
原注６: 　C.H.Haskins and D.P.Lockwood, "The Sicilian Translators of the Twelfth Century ...,"in the Harvard Studies in Classical Philology, XXI, 75.
原注７: 　1300年頃書かれたこの翻訳の写本がヴァチカンにある。上で引用した著作の中で、Professors Haskins and Lockwoodによって用いられたのはこれである。
原注８: 　明らかに、ロンバルディアのクレモナ生まれである。あるスペインの著述家は彼をアンダルシアのカルモナとしているが。その名は、英語では Gerard として、ラテン語では Girardus として現れる。異なる綴りもあるが。B.Boncompagni, "Della vita e delle opere di Gherardo Cremonense," Rome, 1851. そうした初期のイタリアの数学者たちに関するかなりの量の情報が、B.Veratti, "De' Matematici Italiani anteriori all' Invenzione della Stampa," 文献の注のついたパンフレットがついている、Modena, 1860. の中に含まれている。
原注９: 　古い写本が主張しているように、その翻訳は 1175年に完了した。これはシチリアの翻訳のおよそ１５年後であるが、ゲラルドは、明らかにその著作を知らなかった。また、Rose,"Hermes", VIII, 332も見よ。それはベネチアで 1515年に印刷された。彼の翻訳の問題については、A.A.Bjoernbo,"Bibl. Math., VI(3), 239を見よ。
原注１０: 　Amore tamen almagesti, quem apud latinos minime reperiit, Toletum perrexit.
原注１１: 　チボリのプラトの優先権や用語の使用についての問題は、A.Braunmuehl,"Geschichte der Trigonometrie," I, 49 (Leipzig, 1900, 1903)を見よ。以後、Braunmuehl, "Geschhichite"として言及する。その用語は、恐らく、チェスターのロバート(Robert of Chester)のアル・フワーリズミーの表の改訂で用いられただろう。Bibl. Math., I(3), 521 も見よ。
原注１２: 　彼の "Theorica planetarum"は、1472年にフェッラーラで出版された。
原注１３: 　これは、1507年に出版された。M.Chasles,"Apercu historique sur l'origine et developpement des methodes en geometrie," Paris, 1837; 2d ed., 1875.を見よ。以後は、Chasles, "Apercu"として言及する。3d ed., 1889. また、Bibl. Math., IV (3), 130.も見よ。
原注１４: 　より古い英語の形は、Aethelhard である。C.H.Haskins,"Adelard of Bath," English Historical Review, p.491 (1911).
原注１５: 　F.Woepcke,"Journal Asiatique", I (6), 518.
原注１６: 　異なる写本でのある類似性から、Adelardによって参照された版を作った知られていない学者や他に様々な初期の翻訳家がいたように思える。
原注１７: 　Boncompagni, "Bulletino," XIV,1.
原注１８: 　Robertus Retinennsis, Robertus Ketensis, Robert de Ketene, Robert de Retines, Robertus Cataneus, など様々に書かれる。彼は、1141年スペインにいたことが知られていて、1136年、チボリのプラトとともにバルセロナで研究していたように思える。すでに述べたように、彼は、アルバテニウス(Albategnius)の天文学を翻訳している。
原注１９: 　その翻訳への言及は、page 170, note 3 を見よ。
原注２０: 　Daniel of Mirlai, Merlac, Marlach. ラテン語では、Morleius, Merlacus. 大英博物館のある写本は、(J.O.Halliwell, "Rara Mathematica", London, 1838-1839, 2d.ed., 1841, p.84; 以後は、Halliwell, "Rara Math."として言及。）「Philosophia magistri Danielis de Merlai ad Johannem Norwicansem episcopum.」で始まる。また、C.Singer "Isis," III (1920), 263.も見よ。
原注２１: 　A.a' Wood, "Historia et Antiquitates Vniversitatis Oxoniensis", I, 56 (Oxford, 1674)を見よ。以後は、Wood,"Historia Oxon"として言及。
原注２２: 　恐らく、De principiis mathematicis.
原注２３: 　Fitzstephen（1190年頃没）によって書かれた Descriptio nobilissimae civitatis Londoniae、彼の Life of Becket の前に置かれており、John Lelandの Itinerary (London, 1770)の中で出版された。; J.Stow, "Survey of London",p.703 (London, 1633).を見よ。
原注２４: 　恐らく、Joh.Ocreatus と同じであろう。N.Bubnov,"Gerberti ... Opera Mathematica," p.174, n.7 (Berlin, 1899); C.Henry, "Abhandlungen, III, 129.を見よ。O'Creat は、彼の著作を次のような言葉で始めている。「N.O.Creati liber de multiplicatione et divisione numerorum ad Adelardum Bathoniensem magistrum suum.」 the Bibilot. nat. in Paris の中に、１３世紀の著作の写本がある。そのプロローグはこう始まる。「Prologus N.Ocreati in Helceph, ad Adelardum Batensem magistrum suum.」 Helceph という意味が不確かなことについては、Henry, loc. cit.を見よ。
原注２５: 　恐らく、中世のτζιφρα、theca(teca) あるいは、τηκειν（無にする）から来ているのだろう。
原注２６: 　古代の記録は、「Gerlandus vel Gerlandus Prior S.Pauli, annis, 1131, 1132.」と語っている。1134年の文書は、「Huius praefatae concordiae testes sunt ... Garlandus magister ... anno ... M.C.XXXIIII.」と記録している。彼は、また、1148年にも言及されている。「Magistrum quoque Jarlandum Bisuntinum & magistrum Theodericum Carnotensem [i.e., of Chartres], duoa fama & gloria doctores nostri temporis excellentissimos.」彼は、1157年の彼に宛てた手紙の中でも言及されている。「Gerlando scientia trivii, quadriviique onerato & honorato.」 Boncompagni, "Bullettino," X, 654.を見よ。
原注２７: 　Boncompagni, "Bullettino,"X, 653; Cantor, "Geschichite," II (2), 843.を見よ。
原注２８: 　Great Malvern の古い小修道院の内陣の南通廊に、今日でも、次のような銘文のある墓が見いだせるかも知れない。一部を取ってみると、「Philosophvs・dignvs・bonvs・astrologvs・Lothering^vs| vir・pivs・ac・hvmilis・monachvs・prior・hvjvs ... | ... geometricvs・ac・abacista : - | Doctor・Walchervs ... MCXXV・□ 彼を、ドゥルハン(Durham)の司教となり 1075年に殺害された Walcherus of Lorraine と混同してはならない。