集団の部分と全体の関係

（２）外分散

１つの集団を、幾つかの部分集団に分けたとき、各部分集団内の平均に着目します。

各部分集団内の平均の、その部分集団の大きさをウエイトにした部分集団間の分散を、
  外分散といい、普通、σb2で表わします。

上のことは、初めに集団が幾つかあって、それらを併合して１つの集団とする
  場合も同じです。

部分集団に分ける以前の集団、あるいは併合された集団を、全集団といい、その分散を
  全分散といいます。外分散は全分散とは別のものです。
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理論

大きさ Nの１つの集団を、大きさ Niの K個の部分集団に分け、各部分集団内の平均を
  μiとします。

       大きさ  N1,  N2,...., NK　　
       平均   μ1, μ2,....,μK

このとき、外分散σb2は、

       σb2={ΣNi(μi-μ)2}/N　　　　（１）

として求められます。Σは iを１から Kまで合計することを意味します。
これは

       外分散＝部分集団の平均の分散

という関係を表すものです。

外分散を求めるには、全平均を知る必要があります。
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計算例

ある市に４つの高校があり、同じ学年で同じ問題の統一試験が行われました。
学校別の生徒数と点数の平均は次の通りです。４校の外分散を出してみます。


学校(i)
１
２
３
４
生徒数(Ni)
135
190
92
156
平均点(μi)
73
67
85
74


 
全生徒数は 135+190+92+156=573(人)
となるので、外分散σb2は、別に求めた全平均μ=73.209
により

σb2={135*(73-73.209)2+190*(67-73.209)2+92*(85-73.209)2+156*(74-73.209)2)}/573
 =20218.869/573=35.286(点2)

となります。
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練習問題

  ある農家では、収穫したじゃが薯を袋詰めにして販売するのに、
　  袋ごとに薯の大きさを揃えて、消費者の求めに応じることにしています。
　  次の表は、５袋の薯の重さを示しています。
　  薯の重さについて、各袋に亙る外分散を求めなさい。


袋(i)
重さ（ｇ）
１
158
165
171
.
.
.
.
.
.
.
.
２
125
120
134
118
.
.
.
.
.
.
.
３
102
107
95
89
96
.
.
.
.
.
.
４
70
75
67
69
65
74
71
.
.
.
.
５
37
38
45
51
46
37
43
47
49
54
45



　　ヒント：各袋の平均と全平均を出して、（１）式にあてはめます。
            [答 σb2=1505.182(g2)]