集団の部分と全体の関係

（１）平均の関係

１つの集団を、幾つかの部分集団に分けたとき、各部分集団内の平均と、初めの
  集団（全集団という）の平均との間には、関係があります。

各部分集団内の平均を、その部分集団の大きさをウエイトにして、全部分集団に
  亘って加重平均すると、全集団の平均（全平均という）に一致します。

上のことは、初めに集団が幾つかあって、それらを併合して全集団とする
  場合も同じです。
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理論

大きさ Nの１つの集団を、大きさ Niの K個の部分集団に分け、各部分集団内の
  平均をμiとします。

      大きさ  N1,  N2,....,NK　　
      平均   μ1,μ2,....,μK

このとき、全平均をμで表せば、

      μ=(ΣNiμi)/N        （１）

となります。Σは iを１から Kまで合計することを意味します。
これは

      全平均＝部分集団内の平均の平均

という関係を表すものです。
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計算例

ある市に４つの高校があり、同じ学年で同じ問題の統一試験が行われました。
学校別の生徒数と平均点は次の通りです。４校の全平均点を出してみます。


学校(i)
１
２
３
４
生徒数(Ni)
135
190
92
156
平均点(μi)
73
67
85
74

 
全生徒数は 135+190+92+156=573(人)
となるので、全平均μは

    μ=(135*73+190*67+92*85+156*74)/573=41949/573=73.209(点)

となります。
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練習問題

ある農家では、収穫したじゃが薯を袋詰めにして販売するのに、
　袋ごとに薯の大きさを揃えて、消費者の求めに応じることにしています。
　次の表は、５袋の薯の重さを示しています。
　薯の重さについて、袋ごとの平均と、全平均の関係を確かめなさい。


袋(i)
重さ（ｇ）
１
158
165
171
.
.
.
.
.
.
.
.
２
125
120
134
118
.
.
.
.
.
.
.
３
102
107
95
89
96
.
.
.
.
.
.
４
70
75
67
69
65
74
71
.
.
.
.
５
37
38
45
51
46
37
43
47
49
54
45

 
ヒント：袋別の個数と重さの平均を出す一方、全ての個数と平均を出し、
　　　　上の（１）式が成り立つことを確かめます。
        個数や平均は

        N1=3, N2=4, N3=5, N4=7, N5=11，　N=30 
　　　　μ1=164.6', μ2=124.25, μ3=97.8, μ4=70.143, μ5=44.727，　μ=82.1

　　　　と計算されるので、これらを（１）式に当てはめます。