平均差

（２）度数分布の平均差  Mean difference of frequency distribution

平均差は、散布度の１種です。平均偏差とは違います。データの中の２つの単位の値の差の
  絶対値を、全データに亙って総平均したものです。

平均差は、概念の上で標準偏差や平均偏差より２倍ほど大きい水準と考えます。そのため、
  平均差を平均によって相対化するときは、平均差の半分を平均で割ります。これは相対平
  均差ですが、Gini（ジニ）の集中係数とも呼ばれます。

この集中係数は、０に近いほど集中度が高いので、尺度の解釈に注意を要します。
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計算例

  Ｆ氏宅の６０日間の電話の呼数の分布が、次表の通りのとき、１日の呼数の平均差などを求
  めます。

          １日の呼数 X    日数 f
                0           5
                1           8
                2          10
                3          12
                4           9
                5           7
                6           4
                7           3
                8           1
                9           1  
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               計          60

        先ず、K=10, 総度数は F=60, Xの平均はμ=3.283'、標準偏差はσ=2.0983459
          となります。次にΣfifj|Xi-Xj|,(i＜j)を求めると

            5*8*|0-1|+5*10*|0-2|+5*12*|0-3|+5*9*|0-4|+...(10*9/2=45個の積和)=4255

          となるので、 平均差は

            2*4225/{60(60-1)}=2.3870 （呼）
         
          となります。これを平均の２倍で割ると、ジニの集中係数となり、

            2.3870/(2*3.283')=0.3635

          となります。
        　
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   理論

      変数とその度数が

        X1, X2,...., XK
        f1, f2,...., fK

      と表わされているとします。
      度数分布表が、幅のない階級からなっているときは、Xiをそのまま計算に使います。
      度数分布表が、幅のある階級からなっているときは、Xiは階級の代表値とします。
      の平均差をDmで表わすと

        Dm=Σfifj|Xi-Xj|/{F(F-1)}      (1)
            Fは各fiの合計。 Σは異なる i,j について、1〜K の合計をとる意味。

      です。この式は、

        Dm=2*Σfifj|Xi-Xj|/{F(F-1)}        (2)
             Σは i＜j となる i,j について、1〜K の合計をとる意味。

      と変形することができます。なお、平均をμとし、

        Dm/(2*μ)

      を Gini（ジニ） の集中係数といいます。これは、相対平均差です。
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平均差の意味と計算手順のまとめ

意味：散布度の１種

計算手順：１、階級数 K, 総度数 F を確かめる。

          ２、式(2)を用いるとして、２つの異なる値（階級の代表値）
              を差の形で列挙する。列挙個数は全部で K(K-1)/2　個。（組合せの数）

          ３、これらの差の絶対値をとり、fifjを掛けて合計し、F(F-1)/2で割る。
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     練習問題

         次表は、ある果樹園から１季節に出荷された桃の重さ（ｇ）の分布です。
           桃の重さの平均差などを求めなさい。(階級は、以上−未満)

　　　　　　    階級　　代表値　　個数
　　　　     160g-170g    165g　　　93
             170 -180     175      165
             180 -190     185      252
             190 -200     195      318
             200 -210     205      355
             210 -220     215      293
             220 -230     225      176
             230 -240     235      132
             240 -250     245       84
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            計         -          1868
 
            [答 平均差 23.1095（g）、ジニの集中係数 0.05683]
            参考：同じデータの平均 203.3298(g)、標準偏差 20.4027(g)、変動係数 0.1003