（６）級内相関係数

級内相関係数は、一定数のデータからなる組（級という）が幾つかあって、全体として１つの集団を形成
  しているとき、級の内部の類似性を全体として表わす指標です。

例えば、リレー競走を幾つかのチームで行うとき、チーム内の選手の実力の均一度を測るには、この級内
  相関係数が便利です。

普通の相関係数では、級内の変数の順序は動かせませんが、級内相関係数では級内の変数の順序は関係あ
  りません。
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
理論

一定数個の変数の組(級)を
      (X11,X12,...,X1k)
      (X21,X22,...,X2k)
      (X31,X32,...,X3k)
             :
             :
      (XN1,XN2,...,XNk)
と表すとき、これら N組の級データにより、外分散σb2、内分散σw2、全分散σ2が計算されます。

このとき、次の式で求められるρを、級内相関係数といいます。

    ρ={σb2-σw2/(k-1)}/σ2        (1)

この式を用いて級内相関係数を計算するときは、予め k,σb2,σw2,σ2の各値を算出しておく必要が
  あります。

級内相関係数は、最高1、最低 -1/(k-1)です。

級内相関係数が1となるのは、級の間でデータが異なっても、どの級の中もデータが同じである場合です。
  下記参考(1)

級内相関係数が -1/(k-1)となるのは、どの級の中の平均も同じである場合です。下記参考(2)
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
計算例

４人１チームで、400mリレー競走を６チームで行うとき、各選手の100mのベストタイムは、次の表の
  通りです。ベストタイムについて、級内相関係数を求めます。


チーム(級)
４人の選手の記録
1
11.5, 11.6, 11.5, 11.4
2
12.3, 11.7, 11.6, 11.6
3
11.3, 11.1, 11.5, 11.7
4
11.7, 11.5, 11.4, 11.4
5
11.6, 11.5, 12.0, 11.3
6
11.4, 12.2, 12.1, 11.5

この表から k,σb2,σw2,σ2の各値を計算すると
 k=4,σb2=0.023',σw2=0.0575,σ2=0.08083'
となるので

ρ={(0.023'-0.0575/(4-1)}/0.08083'=0.05154

となります。

これにより、この場合級内は無相関といってよいでしょう。

参考(1)：ρ=1となるのは、データが次のようにチーム内で選手の記録が全員等しい場合です。

チーム(級)
４人の選手の記録
チーム内平均
1
11.5, 11.5, 11.5, 11.5
11.5
2
11.8, 11.8, 11.8, 11.8
11.8
3
11.4, 11.4, 11.4, 11.4
11.4
4
11.7, 11.7, 11.7, 11.7
11.7
5
11.6, 11.6, 11.6, 11.6
11.6
6
11.8, 11.8, 11.8, 11.8
11.8

 k=4
σb2=0.02'
σw2=0

σ2=0.02'
ρ=1

(評価)級内相関は最も強い。勝敗の予想は容易。

参考(2)：ρ=-0.3'(この場合負で最強)となるのは、データが次のようにチーム内の平均が全チームに亘っ
    て等しい場合です。

チーム(級)
４人の選手の記録
チーム内平均
1
11.5, 11.6, 11.5, 11.4
11.5
2
11.7, 11.6, 11.3, 11.4
11.5
3
11.5, 11.5, 11.5, 11.5
11.5
4
11.4, 11.6, 11.6, 11.4
11.5
5
11.5, 11.7, 11.4, 11.4
11.5
6
11.6, 11.6, 11.5, 11.3
11.5

 k=4
σb2=0
σw2=0.0116'

σ2=0.0116'
ρ=-0.3'

(評価)級内相関は負で最も強い。勝敗の予想は困難。

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級内相関係数の意味と計算手順のまとめ

意味：級（同じ大きさの部分集団、組、セット）の中の均一度

計算手順：１、データの配列を確かめる。

          ２、級内データ数 k,外分散σb2,内分散σw2,全分散σ2を算出する。

          ３、これらを上式 (1)にあてはめる。

練習問題

駅の構内に５基の公衆電話があり、利用者が行列を作ることがあります。一定時間ごとに、待ち人数を観
  察したところ、次のデータを得ました。電話器利用の状況について、級内相関係数で測りなさい。
  （表内の数字は待ち人数）

観察時点
電話器
1
2
3
4
5
1
1
2
1
0
1
2
1
0
0
2
0
3
2
4
3
3
1
4
3
2
4
3
1
5
1
2
3
2
0
6
0
1
1
0
1
7
0
0
1
1
0

ヒント：先ず、k,σb2,σw2,σ2の各値を出します。

 次に式(1)を用いて ρを計算します。

 [答]
 k=5
σb2=0.762449
σw2=0.662857

σ2=1.425306
ρ=0.41867

(評価)級内相関は正。すなわち、混む時は各電話器とも混み、空く時は各電話器とも空くという傾向は
      認められるが、あまり顕著ではない。