変数変換による計算

（２）分散、標準偏差の計算

変数の値が一様に大きかったり、ある数の倍数であったりするとき、計算が煩わしくな
  ることがあります。そのような場合、変数にある定数を加減したり、変数をある定数
  で乗除すると、変数の桁が少なくなるなど、値が簡単になる場合があります。

その場合、簡単になった値に対して所要の計算をしてから、先に用いた定数で逆算する
　と、目的の計算値を求めることができます。

このようにして、変数の値を変えることを、変数変換といいます。変数の加減乗除に用
　いる定数は、任意で構いませんが、選択の仕方によっては、計算が一層面倒になるこ
  とがあります。

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計算例

　変数 Xの値を

　　　　10025,10030,10020,10015,10005

　とし、これらの分散、標準偏差を求めるのに、各値は一様に 10000に近いので、各値から 10000
　を引くと、各値は

　　　　25,30,20,15,5

　となります。これらは皆 5の倍数ですから、これらを　5で割ると

　　　　5.6.4.3.1

　となります。これらの値を　Yで表わせば、Yは元の変数 Xに対して

　　　　Y=(X-10000)/5

　という変換を行ったことになります。
　そこで、Yについて分散を求めますと、

　　　　σY2=2.96

　となります。

　次に、X の分散を求めるため、用いた定数によって逆算します。分散の場合は、乗除
　に用いた定数だけが使われ、加減に用いた定数は、使いません。Xの分散は

　　　　σX2=52*σY2=74

　となります。Xの標準偏差は、Xの分散（逆算後）の平方根で、√74=8.60　です。
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理論

  変数 Xに対して、適当な定数 a,b(≠0)をとり、

     Y=(X-a)/b

  とおくとき、これを Xの１次変換といいます。

  分散に関する変数間の関係は、

    σY2=σX2/b2

  となります。aは分散、標準偏差に関係しません。

  これにより、Xの分散は、YをXに逆算して

    σX2=b2*σY2

  となります。Xの標準偏差は、Xの分散(逆算後)の平方根で、√(σX2)=σです。

  なお、

    Y=X/c-d

  の形で変数変換をしたときは、逆算は

    σX2=c2*σY2

  で行ないます。ここでも dは式に関係しません。

  上の理論は、任意の a,b(≠0),c(≠0),dで成り立ちますが、a,b,c,dの選び方によっては、
  計算が楽にならないことがあります。
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練習問題

　　次のデータは、ある理髪店の料金別客数の統計です。単価の分散、標準偏差は幾らですか。

　　　　1500円　　61人
        1700      92
        2000      37
        2200      20
        2400      15

    ヒント：度数分布表の形になっていますが、変数変換を行った後、度数を用いて変数変換後の
　　　　　分散を計算し、逆算して変数変換前の分散、標準偏差を出します。用いる定数は、
           例えば a=2000, b=100 でよいでしょう。　
　　　　[答　分散134432(円2)、標準偏差366.6（円）]