質問3　（標準偏差の「標準」の意味）標準偏差はなぜ「標準」なのですか。

答（質問者は、〇〇偏差、××偏差など色々な偏差があることを知って質問したものと思われ
ます。）集団内のばらつきを測るのに、各単位の、その平均からの隔たりであるXi-μの総平均
をとるのは、最も分かり易い発想ですが、Xi-μ　は正負に亙っているため、相殺されて
0になってしまいます。そこで、Xi-μ　のうちの負の分を正に直す（Xiとμの遠近を測る）
ため、Xi-μの絶対値をとり、|Xi-μ|とします。

1、|Xi-μ|の平均は、その集団のばらつきの尺度となり、平均偏差といいます。

2、|Xi-μ|の2乗は（Xi-μ）2 に等しく、常に負にならず、ばらつきの尺度の要素です。
　その平均を、分散といいます。分散は2乗の次元のため、分散の平方根をとり、元
　の次元に戻します。それを標準偏差といいます。

3、|Xi-μ|の3乗も、ばらつきの尺度の要素で、その平均を3次の絶対積率といいます。
　これは3乗の次元のため、その立方根をとり、元の次元に戻すと、これも集団のばらつきの
　尺度となります。

4、|Xi-μ|の4乗等についても、同様のことがいえます。

5、|Xi-μ|は、理論式の展開が困難なため、平均偏差や奇数次の絶対積率は実用に
　おいて敬遠される一因となっていました。

6、|Xi-μ|の2乗や4乗はXi-μ　の2乗や4乗に等しく、理論式の展開
　も容易で、研究が進んでいます。とりわけ、（Xi-μ）2 に基づくばらつきの
　尺度が、他の尺度よりも容易で研究が最も進んでいて、実用に使えるため、この偏差に
　「標準」を冠し、「標準偏差」（Standard　Deviation）と呼んでいます。（上記2関連）

7、実感あるばらつきの尺度としては、平均偏差の方が直接的であり、分かり易さでは優れています。
　上記5の事情はありますが、電子計算機の発達により、実計算上の困難は過去のものになりつつ
　あります。平均偏差は、平均との関係など、理論体系もそれなりにできます。高次の積率に基づく
　ばらつきの尺度も、それなりの理論体系を作ることができます。従って、平均偏差などが標準偏
　差に比べて本質的に劣る、というのは当たりません。

8、上記が、標準偏差が「標準」の偏差といわれる事情です。

（明星大学教授　船津好明）