Eine mathematische Methode der Reihenentwicklung von 1/(1-x)  Japanisch Englisch

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Y. Funatsu

                 Untersuchung mit Zahlen　Beispiele der Entwicklung von 1/(1±x)

                 Rechnungsformular von 1/(1-x),  1/(1+x)



Inhalt  1. Satz  2. Erklärung  3. Sonderfall von p und q

4. Beweis des Satzes  5. Ausdrücke von ani   6. Entwicklung von 1/(1+x)

7. Anwendung und damit verbundene Umstände



Hier behandeln wir reelle Zahlen.

1. Satz

 p und q (p＜q) seien zwei beliebige Werte. Wenn in dem offenen Intervall (p,q)

1 nicht enthalten ist, dann kann man folgende Reihenentwicklung für x mit p＜x＜q

ansetzen.

1/(1-x)=an0+an1x+an2x2+...+annxn+rn ............(1)

wobei wir eine natürliche Zahl n finden können, so daß das Restglied |rn|＜ε wird,

mit einer beliebigen kleinen positiven Zahl. 

 Die Koeffizienten ani(i=0,1,2,...,n) sind dabei von p,q und n, aber nicht von x

abhängig.





2. Erklärung

 Abb.1 veranschaulicht den Bereich von p und q, in

dem die Formel (1) gilt. Dann wird 1/(1-x) durch

die Potenzreihe Σanixi (Summe durch i=0,1,2,...,n)

genähert. Das Restglied wird kleiner als ein

beliebiges ε＞0, wie wir es wünschen. 

 ani ändert sich für gleiches x, weil p und q

beliebig sind. Daher hat ani unendlich viele

Werte für gleiches x. Die Präzision der Näherung

hängt von p,q und n ab. Für jedes x gibt es

eine beste Folge, die die Abweichung der Näherung

vom vorgegebenen Wert minimiert.

 Wenn wir in (1) x zu -x ändern, wird die Formel

zu 1/(1+x). Dann ist das wirksame Intervall nicht

(p,q), sondern (-q,-p), und die Koeffizienten ändern sich auch. 

 In den Formeln unten schreiben wir einfach rn für das Restglied, obwohl sich der

Wert für jede Formel ändert.



3. Sonderfall von p und q

 Wenn p=-1 und q=1, d.h. -1＜x＜1, dann gilt ani=1 für i=0,1,2,...,n, 

und es gilt daher

1/(1-x)=1+x+x2+...+xn+rn ...........(2)

 Das ist eine wohlbekannte Formel der Analysis. Wenn -1＜p=-q (z.B. -0,6＜x＜0,6),

ergibt sich die Formel (2). Sonst (z.B. 0,8＜x＜1 oder -0,4＜x＜0,7) ergeben sich

andere Formeln. Für jedes x (≠0) mit -1＜x＜1 liegen Folgen vor, deren Fehler der

Näherung kleiner als (2) sind.



4. Beweis des Satzes

Voraussetzung:

 Das Intervall (p,q) hat 2 Fälle, für die ①p rechts von 1 auf der Abszisse liegt,

d.h. 1≤p und ②q links von 1 auf der Abszisse



liegt, d.h. q≤1 (gemeinsamer Rand).

 Wir beweisen den Fall 1≤p, d.h. 1≤p＜q.

Der Fall q≤1 wird analog bewiesen.

Beweis:

 Wir nehmen eine andere Variable y für x mit

p＜x＜q, so daß wir definieren können

y=(2x-q-p)/(q-p) ...........(3)

 Dann ist das Zuordnungsintervall von y als

(-1,1) gegeben, d.h. -1＜y＜1. Abb.2 ver-

anschaulicht die Zuordnung von x gegen y.

 Daher haben wir die folgende Formel für y:

1/(1-y)=1+y+y2+...+yn+rn ......(4)

 Von (3) haben wir

x={(q-p)y+(q+p)}/2 .............(5)

 Daher gilt

1/(1-x)=1/[1-{(q-p)y+(q+p)}/2]={-2/(q+p-2)}{1+(q-p)y/(q+p-2)}-1 ............(6)

 Der Koeffizient von y in (6) ist mit 1≤p＜q positiv und kleiner als 1, d.h. 

0＜(q-p)/(q+p-2) und (q-p)/(q+p-2)≤1. Und mit -1＜y＜1 haben wir mittels der

bekannten Formel der Analysis 1/(1+x)=1-x+x2-x3+x4...

und |(q-p)y/(q+p-2)|＜1 folgende Entwicklung 

1/(1-x)={-2/(q+p-2)}[1-{(q-p)y/(q+p-2)}+{(q-p)y/(q+p-2)}2+...

+(-1)n{(q-p)y/(q+p-2)}n]+rn ............(7)

 Dann ersetzen wir y wieder durch x mittels (3) bis zu yn und ordnen nach jeder

Potenz von x. Schließlich ergibt sich die Formel (1).

 Es ist verstäntlich mittels (7) und auch (1), daß wir ein n finden und damit

|rn| kleiner als ε＞0 machen, weil (4) und (7) mit n→∞ konvergent sind.

 In diesem Verfahren lassen wir den Wert von rn unberücksichtigt. Es ist nicht

richtig, rn in der Folge zu berücksichtigen.



5. Ausdrücke von ani

 Wir drücken nun konkrete ani für n=1,2,3,4 aus.



 5.1 Für n=1

  Wir nehmen die Glieder in (7) bis y1 und danach ändern wir y zu x mittels (3).

  Dann ist

  a10=-2{1+(q+p)/(q+p-2)}/(q+p-2), a11=4/(q+p-2)2 ..........(8)

  Damit gilt

  1/(1-x)=a10+a11x+r1 ............(9)



 5.2 Für n=2

  Wir nehmen die Glieder in (7) bis zu y2 und danach ändern wir y zu x mittels (3).

  Dann ist

  a20=-2[1+(q+p)/(q+p-2)+{(q+p)/(q+p-2)}2]/(q+p-2), 

  a21=4{1+2(q+p)/(q+p-2)}/(q+p-2)2, a22=-8/(q+p-2)3 ...........(10)

  Damit ist

  1/(1-x)=a20+a21x+a22x2+r2 ............(11)



 5.3 Für n=3

  Wir nehmen die Glieder in (7) bis zu y3 und danach ändern wir y zu x mittels (3).

  Dann ist

  a30=-2[1+(q+p)/(q+p-2)+{(q+p)/(q+p-2)}2+{(q+p)/(q+p-2)}3]/(q+p-2), 

  a31=4[1+2(q+p)/(q+p-2)+3{(q+p)/(q+p-2)}2]/(q+p-2)2,

  a32=-8{1+3(q+p)/(q+p-2)}/(q+p-2)3, a33=16/(q+p-2)4 ............(12)

  Damit ist

  1/(1-x)=a30+a31x+a32x2+a33x3+r3 .............(13)



 5.4 Für n=4

  Wir nehmen die Glieder in (7) bis zu y4 und danach ändern wir y zu x mittels (3).

  Dann ist

  a40=-2[1+(q+p)/(q+p-2)+{(q+p)/(q+p-2)}2+{(q+p)/(q+p-2)}3+{(q+p)/(q+p-2)}4]/

  (q+p-2), a41=4[1+2(q+p)/(q+p-2)+3{(q+p)/(q+p-2)}2+4{(q+p)/(q+p-2)}3]/(q+p-2)2,

  a42=-8{1+3(q+p)/(q+p-2)+6{(q+p)/(q+p-2)}2}/(q+p-2)3,

  a43=16{1+4(q+p)/(q+p-2)}/(q+p-2)4, a44=-32/(q+p-2)5 ............(14)

  Damit ist

  1/(1-x)=a40+a41x+a42x2+a43x3+a44x4+r4 ...........(15)



6. Entwicklung von 1/(1+x)

 p und q (p＜q) seien zwei beliebige Werte. Wenn in dem offenen Intervall (p,q) 

-1 nicht enthalten ist, dann haben wir folgende Formel für x mit p＜x＜q.

1/(1+x)=bn0+bn1x+bn2x2+...+bnnxn+rn .............(16)

wobei wir ein n finden können, so daß |rn|＜ε mit einer kleinen positiven Zahl ε

wird. 

bni(i=0,1,2,...,n) wird von p,q und n bestimmt, aber nicht von x. 

bni ist allgemein nicht gleich ani. 

 Als Sonderfall, wenn -p=q≤1, und damit |x|＜1 gilt

1/(1+x)=1-x+x2-...+(-1)nxn+rn 

Diese Formel ist wohlbekannt.

Konkretes bni (n,i≤4) ergibt Folgendes:

b10=2{1+(q+p)/(q+p+2)}/(q+p+2), b11=-4/(q+p+2)2,

b20=2[1+(q+p)/(q+p+2)+{(q+p)/(q+p+2)}2]/(q+p+2),

b21=-4{1+2(q+p)/(q+p+2)}/(q+p+2)2, b22=8/(q+p+2)3,

b30=2[1+(q+p)/(q+p+2)+{(q+p)/(q+p+2)}2+{(q+p)/(q+p+2)}3]/(q+p+2),

b31=-4[1+2(q+p)/(q+p+2)+3{(q+p)/(q+p+2)}2]/(q+p+2)2,

b32=8{1+3(q+p)/(q+p+2)}/(q+p+2)3,  b33=-16/(q+p+2)4,

b40=2[1+(q+p)/(q+p+2)+{(q+p)/(q+p+2)}2+{(q+p)/(q+p+2)}3+{(q+p)/(q+p+2)}4]/(q+p+2),

b41=-4[1+2(q+p)/(q+p+2)+3{(q+p)/(q+p+2)}2+4{(q+p)/(q+p+2)}3]/(q+p+2)2,

b42=8[1+3(q+p)/(q+p+2)+6{(q+p)/(q+p+2)}2]/(q+p+2)3,

b43=-16{1+4(q+p)/(q+p+2)}/(q+p+2)4,  b44=32/(q+p+2)5　...........(17)



7. Anwendung und damit verbundene Umstände

 Die Theorie wurde auf die Statistik angewandt. Wenn X eine Zufallsgröße ist und

der Erwartungswert von 1/X gesucht ist, gilt diese Theorie.

 Wir schreiben mit beliebigem a (≠0) 1/X=1/(a+X-a)=(1/a)[1/{1+(X-a)/a}]. 

Die Bedingung |(X-a)/a|＜1 ist nicht nötig für diese Theorie, um 1/{1+(X-a)/a}

zu entwickeln.

 Der Autor entdeckte die Theorie 1979 und reichte eine Anwendungsabhandlung

bei der japanischen Gesellschaft für Statistik ein. Aber sie sagte, daß die

Theorie nicht richtig war und erkannte sie nicht an.

 Der Autor stimmte nicht zu und sandte 2 Anwendungsabhandlungen, eine nach

Indien, und eine in die U.S.A. Sie erkannten diese Abhandlungen an und so sind

sie wie folgt erschienen:



Y.Funatsu, A note 0n Koop's procedure to obtain the bias of the ratio estimate.

    Sankhyā: The Indian journal of statistics 1982, Volume 44, Series B, Pt.2,

    pp.219-222.

Y.Funatsu, A METHOD OF DERIVING VALID APPROXIMATE EXPRESSIONS FOR BIAS IN 

    RATIO ESTIMATION.

    Journal of Statistical Planning and Inference 6(1982)215-225, North Holland 

    Publishing Company. 



 Danach machte der Autor seinen Doktor und wurde er Universitätsprofessor.





(Adresse)

Y. Funatsu

Hanakoganei 2-6-1, kodairashi, 1870002 Tokyo, Japan



Email   funatsu@mvf.biglobe.ne.jp